Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами равны, то треугольники подобны.
Дано: ∠А = ∠А₁; АВ : А₁В₁ = АС : А₁С₁ . Доказать: ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁. Доказательство: Достроим на стороне АС треугольник АВ₂С, в котором углы, прилежащие к стороне АС, равны углам в треугольнике А₁В₁С₁ (как на рисунке) . Тогда ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁ по двум углам. Запишем отношение сторон в этих треугольниках: АВ₂ : А₁В₁ = АС : А₁С₁. Сравним полученную пропорцию с данной в условии: АВ : А₁В₁ = АС : А₁С₁ Значит, АВ₂ = АВ. Но тогда ΔАВС = ΔАВ₂С по двум сторона и углу между ними (АС - общая, АВ₂ = АВ и ∠А = ∠А₁ = ∠1 по условию). Итак, ΔАВС = ΔАВ₂С, а ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁, значит ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁. Доказано.
Армейский полк расквартирован в местечке ***. Жизнь проходит по заведённому в армии распорядку, и гарнизонную скуку рассеивает только знакомство офицеров с неким человеком по имени Сильвио, проживающим в этом местечке. Он старше большинства офицеров полка, угрюм, обладает крутым нравом и злым языком. В его жизни есть какая-то тайна, которую Сильвио никому не открывает. Известно, что Сильвио служил когда-то в гусарском полку, но причина его отставки никому не ведома, так же как и причина проживания в этом захолустье. Неизвестны ни доходы его, ни состояние, но он держит открытый стол для офицеров полка, и за обедами шампанское льётся рекой. За это ему все готовы простить. Таинственность фигуры Сильвио оттеняет его почти сверхъестественное искусство в стрельбе из пистолета. Он не принимает участия в разговорах офицеров о поединках, а на расспросы, случалось ли ему драться, отвечает сухо, что доводилось. Между собой офицеры полагают, что на совести Сильвио лежит какая-нибудь несчастная жертва его нечеловеческого искусства. Однажды несколько офицеров по обыкновению собрались у Сильвио. Изрядно выпив, начали карточную игру и попросили Сильвио прометать банк. В игре он как обычно молчал и без слов исправлял ошибки понтёров в записях. Одному молодому офицеру, недавно поступившему в полк и не знавшему привычек Сильвио, показалось, что тот ошибся. Взбешённый молчаливым упорством Сильвио, офицер запустил ему в голову шандалом, Сильвио, бледный от злости, попросил офицера удалиться. Все считали поединок неизбежным и не сомневались в его исходе, но Сильвио не вызвал офицера, и это обстоятельство испортило его репутацию в глазах офицеров, но постепенно все вошло в обычное русло и инцидент забылся. Лишь один офицер, которому Сильвио симпатизировал более других, не мог примириться с мыслью, что Сильвио не смыл оскорбления.
Дано: ∠А = ∠А₁; АВ : А₁В₁ = АС : А₁С₁ .
Доказать: ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁.
Доказательство:
Достроим на стороне АС треугольник АВ₂С, в котором углы, прилежащие к стороне АС, равны углам в треугольнике А₁В₁С₁ (как на рисунке) .
Тогда ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁ по двум углам. Запишем отношение сторон в этих треугольниках:
АВ₂ : А₁В₁ = АС : А₁С₁.
Сравним полученную пропорцию с данной в условии:
АВ : А₁В₁ = АС : А₁С₁
Значит, АВ₂ = АВ.
Но тогда ΔАВС = ΔАВ₂С по двум сторона и углу между ними (АС - общая, АВ₂ = АВ и ∠А = ∠А₁ = ∠1 по условию).
Итак, ΔАВС = ΔАВ₂С, а ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁, значит
ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁.
Доказано.