K5 Вариант 1
В треугольнике ABC AC = 45°.
а) Установите вид треугольника и постройте его на
стороне AB.
б) Докажите, что медиана BD делит треугольник ABC
на два равных треугольника.
в) Докатките, что прямая ВК, перпендикулярная медиане
BD треугольника ABC, не имеет общих точек с прямой АС.
г) Докажите, что прямая ВК, перпендикулярная меди-
ане BD треугольника ABC, содержит биссектрису одного
из внешних углов этого треугольника.
д) * Возможно ли равенство AE = ЕС, если точка Ене ле-
жит на прямой, содержащей медиану BD треугольника АВС?
Считаем, что "наложение ромба на сферу" означает то, что сфера изнутри касается всех 4-х сторон ромба.
Сечение сферы плоскостью ромба удалено от центра сферы на 8 см
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный отрезком из центра сферы к ребру ромба в точке касания R = 10 см, радиусом вписанной в ромб окружности r и высотой h = 8 см, построенной из центра ромба к центру сферы.
По Пифагору
R² = r² + h²
10² = r² + 8²
100 = r² + 64
r² = 36
r = 6 см
Если радиус вписанной в ромб окружности 6 см, то высота ромба 12 см.
Площадь ромба
S = a*h = 12,5 * 12 = 150 см²
Решение во вложении.
Ради интереса заглянула в то самое решение, которое Вы назвали "ужасным". Оно вполне себе верное и даже красивое, но я понимаю, почему оно Вам не нравится: там нет никаких объяснений. Мой решения оказался аналогичным, но со всеми объяснениями.
Сначала доказываем подобие треугольников AEB и CKB. Они подобны по двум углам: B - общий угол, а углы AEB и CKB прямые. Из этого подобия получаем отношение BE/BK = AB/BC. Домножая обе части на BK/AB, получаем: BE/AB = BK/BC. А это уже отношение сторон треугольников BEK и BAC. Учитывая, что в этих треугольниках есть еще и общий угол ABC, получаем, что они также подобны.
Ищем коэффициент подобия. Если загляните в школьный учебник, то увидите: квадрат коэффициента подобия равен отношения площадей подобных треугольников.
Из подобия треугольников получаем отношения сторон AC и KE, равное коэффициенту k. Так как АС известно, то мы легко находим КЕ.
Дальше используем определение косинуса в треугольнике АЕВ. Прилежащий катет - это сторона BE, гипотенуза - сторона AB. Степень -1 в моем решении появилась из-за того, что я брала k = AB/BE (то есть то, как стороны большего треугольника относятся к сторонам меньшего), а при вычислении косинуса появилась дробь BE/AB.
Зная косинус, легко получаем синус, используя основное тригонометрическое тождество: (sin(x))^2 + (cos(x))^2 = 1 => cos(x) = sqrt(1 - (sin(x))^2).
Радиус окружности, описанной около треугольника, вычисляется по формуле: R = a/(2sin(x)), - где a - сторона треугольника, x - угол, лежащий против этой стороны.
Вот и все решение. ответ: 3/4 см.