Abcda1b1c1d1 – параллелепипед. точки n и р – середины ребер ad и cd соответственно, npϵα. сечением параллелепипеда плоскостью α является треугольник. тогда плоскость α пересекает ребро

В выпуклом n-угольнике всего n(n-3)/2  диагонали, так как можно выбрать одну из вершин и выбрать другую вершину, не смежную с уже выбранной. Каждая диагональ будет посчитана 2 раза, поэтому нужно разделить результат на 2. Таким образом, нужно решить уравнение n(n-3)/2=77 или n(n-3)=154. Можно просто подобрать n или решить квадратное уравнение n²-3n-154=0 : 
n²-3n-154=0
D=9+154*4=9+616=625
n₁=(3+25)/2=14
n₂=(3-25)/2=-11 - посторонний корень, число сторон положительно. 

Таким образом, n=14, то есть в многоугольнике 14 сторон. В выпуклом n-угольнике сумма углов равна 180(n-2), тогда сумма углов выпуклого 14-угольника будет равна 180(14-2)=180*12=2160 градусам.

Дано: равнобедренная трапеция АВСD. АВ=СD
Меньшее основание ВС=15 см
большее основание  AD=49 см
          острые углы D=A=60 град.
Найти:  Р=?
Решение:  Опустим перпендикуляры к большему основанию СN и ВM. МN=BC=15 cм, АМ=АN=(49-15):2=17 см
Рассмотрим треугольник АВМ. Угол А=60, следовательно угол В=30, т.к. сумма острых углов прямоугольного треугольника=90 град.
Катет лежащий против угла в 30 град.= половине гипотенузы, значит АВ=2*13=34.
Теперь известны все стороны трапеции АВ=СD=34, ВС=15, АD=49
Р=34*2+15+49=132 см
ответ: периметр трапеции равен 132 см.